PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: 2015

jueves, 17 de diciembre de 2015

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

3.1 CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, 1991) “La estadística estudia los métodos científicos para recoger, organizar, resumir y analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis. El término estadística se usa para denotar los propios datos, o números derivados de ellos, tales como los promedios.” (pág.1).
(William M., Robert J., Beaver y Barbara M. Beaver., 2010) Señala que: “La estadística es una rama de las matemáticas que tiene aplicaciones en cada faceta de nuestra vida.” (pág. 3).
Según (Mario F. Triola, 2009) “La estadística es un conjunto de métodos para planear estudios y experimentos, obtener datos y luego organizar, resumir, presentar, analizar, interpretar y llegar a conclusiones basadas en los datos”(pág.4).

BIBLIOGRAFÍA

Triola, Mario F. 2009, Estadística, Décima edición: Editorial Pearson educación, México
Murray R. Spiegel 1991, Estadística, 2 ed. Editorial Mc Graw-Hill Interamericana de España, S.A.
Robert J. Beaver y Bárbara M. Beaver 2010, Introducción a la Probabilidad y Estadística, décima tercera edición, Editorial William Mendenhal

POBLACIÓN

Según (Murray R. Spiegel.1991) "Se considera que se conoce una población cuando conocemos la distribución de probabilidad f(x) (función de probabilidad o función de densidad) de la variable aleatoria asociada X."(Pág.156)
De acuerdo a (Jay L. Devore, 2008) “En un estudio, la población podría consistir de todas las capsulas de gelatina de un tipo particular producidas durante un periodo especifico.” (Pág. 12)
(Richard I.Levin, David S.Rubin, 2010) señala que: “Una población es un conjunto de todos los elementos que estamos estudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones. Debemos definir esa población de modo que quede claro cuándo cierto elemento pertenece o no a la población.”(pág10)

EJEMPLO DE USO O APLICACIÓN DE LA POBLACIÓN

Calcúlese el valor del factor de corrección para una población finito cuando a un 10 y N =1.000.

BIBLIOGRAFIA

Murray R. Spiegel 1991, Estadística, 2 ed. Editorial Mc Graw-Hill Interamericana de España, S.A.

Jay L.Devore 2008, Probabilidad Y Estadística Para Ingeniería y Ciencias, Séptima edición, Por Cengage Learning México

Richard I.Levin, David S.Rubin, 2010, Estadistica para administración y economía, Septima edición: Editorial Pearson

MUESTRA ALEATORIA

Según (Murray R. Spiegel, 1991) “Es la confiabilidad de la conclusión extraídas concernientes a una población depende de si la muestra se ha escogido apropiadamente de tal modo que represente la población lo suficientemente bien; uno de los problemas importantes de la inferencia estadística es como escoger una muestra.” (Pág.156)
De acuerdo a (Jay L. Devore,2008) “Es La distribución de probabilidad de cualquier estadístico particular depende no solo de la distribución de la población (norma, uniforme, etc.) y el tamaño de muestra sino también del método de muestreo.” (Pág.119)
(Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers Y Keying Ye, 2012) Señala que: “Sean X₁, X₂,..., X_n variables aleatorias independientes n, cada una con la misma distribución de probabilidad f (x). Definimos X₁, X₂,..., X_n como una muestra aleatoria de tamaño n de la población f (x) y escribimos su distribución de probabilidad conjunta como f (x ₁, x₂,. . ., x_n) = f (x₁) f (x ₂) ・・・ f (x _n)". (pág. 227)

BIBLIOGRAFIA

Murray R. Spiegel 1991, Estadística, 2 ed. Editorial McGraw-Hill Interamericana de España, S.A.

Jay L.Devore 2008, Probabilidad Y Estadística Para Ingeniería y Ciencias, Séptima edición, Por Cengage Learning México

Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L. Myers 2012, Probabilidad Y Estadística Para Ingeniería Y Ciencias Novena Edición: Editorial Pearson Educación, México

3.2 DESCRIPCIÓN DE DATOS

DATOS AGRUPADOS

Según (David R. Anderson, 2008) “En la mayor parte de los casos, las medidas de localización y variabilidad se calculan mediante los valores individuales de los datos. Sin embargo, otras veces sólo se tienen datos agrupados o datos en una distribución de frecuencias.” (Pág. 120)
De acuerdo a (Larry Stephens, 2009) “Datos que se dan en intervalos de clase, como cuando se resumen para una distribución de frecuencias. No se tienen los valores de los datos originales.” (Pág. 126)
(Levin, Richar I. 2004) Señala que: “Una distribución de frecuencias consta de datos agrupados en clases. Cada valor de una observación cae dentro de alguna de las clases.” (Pág. 62)

BIBLIOGRAFIA

Richard I.Levin, David S.Rubin, 2010, Estadistica para administración y economía, Septima edición: Editorial Pearson
Larry Stephens 2009, “Estadística” Cuarta edición, Editorial McGraw-Hill Interamericana editores, S.A de C.V
David R. Anderson, Estadistica Para Administracion y Economía 10ª edición, Editorial: Cergage Learning

FRECUENCIA DE CLASE

Según (Larry Stephens, 2009) “Al organizar una gran cantidad de datos en bruto, suele resultar útil distribuirlos en clases o categoría y determinar la cantidad de datos que pertenecen a cada clase; esta cantidad se conoce como la frecuencia de clase.” (Pág. 37)
De Acuerdo A (David R. Anderson, 2008) “La distribución de frecuencia acumulada usa la cantidad, las amplitudes y los límites de las clases de la distribución de frecuencia. Sin embargo, en lugar de mostrar la frecuencia de cada clase, la distribución de frecuencia acumulada muestra la cantidad de datos que tienen un valor menor o igual al límite superior de cada clase.” (Pág. 120)

BIBLIOGRAFIA

Larry Stephens 2009, “Estadística” Cuarta edición, Editorial McGraw-Hill Interamericana editores, S.A de C.V
David R. Anderson, Estadistica Para Administracion y Economía 10ª edición, Editorial: Cergage Learning

FRECUENCIA RELATIVA

De Acuerdo A (David R. Anderson, 2008) “La frecuencia relativa de una clase es igual a la parte o proporción de los elementos que pertenecen a cada clase.” (Pág. 29)
Declara Que (Santiago Fernández Fernández, José María Cordero Sánchez y Alejandro Córdoba Largo, 2002) “La frecuencia relativa acumulada de un datos es igual a la suma d las frecuencias relativas de todos los datos menores o iguales que dicho valor.se representa por F. al igual que las frecuencias relativas simples, se suelen presentar en porcentajes (%F).” (Pág. 50)
(Levin, Richar I., 2004) Señala que: “Distribución de frecuencias relativas Presentación de un conjunto de datos en el que se muestra la fracción o porcentaje del total del conjunto de datos que entra en cada clase mutuamente excluyente y colectivamente exhaustiva.” (Pág. 45)
Según (Larry Stephens, 2009) “La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida entre la suma de las frecuencias de todas las clases y generalmente se expresa como porcentaje.” (Pág. 32)

EJEMPLO DE USO O APLICACIÓN DE FRECUENCIA RELATIVA

Se ha realizado un estudio del número de empleados de 15 ferreterías de una zona de Madrid con los siguientes resultados:4; 5;4;3;3;6;4;6;5;3;3;4;5;3;6.

Construir la tabla estadística empleado frecuencias absolutos simples y aculadas, también, frecuencias relativa en porcentajes, simples y acumuladas.

BIBLIOGRAFIA

Larry Stephens 2009, “Estadística” Cuarta edición, Editorial McGraw-Hill Interamericana editores, S.A de C.V
David R. Anderson, Estadistica Para Administracion y Economía 10ª edición, Editorial: Cergage Learning
Richard I.Levin, David S.Rubin, 2010, Estadistica para administración y economía, Septima edición: Editorial Pearson

PUNTO MEDIO

Según (Willian Mendenhall. 2010) "Muchos conjuntos de datos cuantitativos están formados de números que no se pueden separar fácilmente en categoría o intervalo. Entonces se hace necesaria una forma diferente de gráficar este tipo de datos.” (Pág. 20)
De acuerdo a (David R. Anderson, 2008) “El punto medio de clase es el valor que queda a la mitad entre el límite inferior y el límite superior de la clase.” (Pág. 35)
(Larry Stephens, 2009) Señala que: “Punto medio de clase Valor que se encuentra a la mitad entre el límite de clase inferior y el límite de clase superior.” (Pág. 26)

BIBLIOGRAFIA

Larry Stephens 2009, Estadística, Cuarta edición, Editorial McGraw-Hill Interamericana editores, S.A de C.V
David R. Anderson 2008, Estadistica Para Administracion y Economía 10ª edición, Editorial: Cergage Learning
Willian Mendenhall 2010, Introduccion A La Probabilidad Y Estadistica” 13 edición: Editorial Cengage Learning, México

LÍMITES

Según (David R. Anderson, 2008) “Límites de clase Los límites de clase deben elegirse de manera que cada dato pertenezca a una y sólo una de las clases. El límite de clase inferior indica el menor valor de los datos a que pertenece esa clase. El límite de clase superior indica el mayor valor de los datos a que pertenece esa clase.” (Pág. 35)

BIBLIOGRAFIA

David R. Anderson 2008, Estadistica Para Administracion y Economía 10ª edición, Editorial: Cergage Learning

3.3. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMÉTICA

Declara Que (Murray R. Spiegel 1976)”La media aritmética, o simplemente media de un conjunto de N números x1,x2,x3…,xN se denota por x.” (Pág. 72)
Según (Larry Stephens, 2009) “La media aritmética, o brevemente la media, de un conjunto de N números ,,…… se denota así

(que se lee “X barra”).” (Pág. 56)

EJEMPLO DE USO O APLICACIÓN DE MEDIA ARITMÉTICA

BIBLIOGRAFIA

Larry Stephens 2009, Estadística, Cuarta edición, Editorial McGraw-Hill Interamericana editores, S.A de C.V
Murray R. Spiegel 1991, Estadística, 2 ed. Editorial McGraw-Hill Interamericana de España, S.A

MEDIA PONDERADA

Declara Que (Mario F. Triola, 2009) “Los valores varían de acuerdo con su grado de importancia, por lo que podemos ponderarlos y calcular la media ponderada de los valores x, una media que se obtiene asignando distintos pesos (w) a los valores.(Pág. 84.)
Según (Larry Stephens, 2009) “Algunas veces, a los números , , ,……. se les asignan ciertos factores de ponderación(o pesos) , , ……. , que dependen del significado o importancia que se les asigne a estos números.” (Pág. 73)

BIBLIOGRAFIA

Larry Stephens 2009, Estadística, Cuarta edición, Editorial McGraw-Hill Interamericana editores, S.A de C.V
Triola, Mario F. 2009, Estadística, Décima edición: Editorial Pearson educación, México

MEDIANA

De acuerdo a (Mendenhall Beaver, 2010) “La mediana de un conjunto de mediciones es el valor de que cae en la posición media cuanto las mediciones son ordenadas de menor a mayor.” (Pág. 55)
Declara Que (Mario F. Triola, 2009) “La mediana de un conjunto de datos es la medida de tendencia central que implica el valor intermedio, cuando los valores de los datos originales se presentan en orden de magnitud creciente (o decreciente). La mediana suele denotarse con x testada (y se lee “x con tilde”).” (Pág. 78.)
Declara Que (Murray R.Spiegel 1991) “La mediana de un conjunto ordenados en magnitud es o el valor central o la media de los dos valores centrales.” (Pág.74)

BIBLIOGRAFIA

Triola, Mario F. 2009, Estadística, Décima edición: Editorial Pearson educación, México
Willian Mendenhall 2010, Introduccion A La Probabilidad Y Estadistica” 13 edición: Editorial Cengage Learning, México
Murray R. Spiegel 1991, Estadística, 2 ed. Editorial McGraw-Hill Interamericana de España, S.A

MODA

Declara Que (Mario F. Triola, 2009) “La moda de un conjunto de datos es el valor que se presenta con mayor frecuencia.” (Pág. 80.)
Declara Que (Murray R. Spiegel 1976) “La moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencias; es decir el valor más frecuente.” (Pág.75)

EJEMPLO DE USO O APLICACIÓN DE MODA

BIBLIOGRAFIA

Triola, Mario F. 2009, Estadística, Décima edición: Editorial Pearson educación, México
Murray R. Spiegel 1991, Estadística, 2 ed. Editorial McGraw-Hill Interamericana de España, S.A

MEDIDA DE DISPERSIÓN

De acuerdo a (Murray R. Spiegel, 1991) “La dispersión o variación de los datos intenta dar una idea de cuan esparcidos se encuentran estos. Hay varias medidas de tal dispersión siendo las más comunes del rango, la desviación media.” (Pág.91)

BIBLIOGRAFIA

Murray R. Spiegel 1991, Estadística, 2 ed. Editorial McGraw-Hill Interamericana de España, S.A

VARIANZA

Declara Que (Mario F. Triola, 2009) “La varianza de un conjunto de valores es una medida de variación igual al cuadrado de la desviación estándar. Varianza muestral: el cuadrado de la desviación estándar S.” (pág. 97.)
Declara Que (Murray R Spiegel ,1991) “Si x1, x2 .., Xn, denota las variables aleatorias para una muestra de tamaño n entonces la variable aleatoria que da la varianza de la muestra o la varianza muestral se define de acuerdo con (Pág.160)

BIBLIOGRAFIA

Triola, Mario F. 2009, Estadística, Décima edición: Editorial Pearson educación, México
Murray R. Spiegel 1991, Estadística, 2 ed. Editorial McGraw-Hill Interamericana de España, S.A

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Declara Que (Mario F. Triola, 2009) “La desviación estándar: de un conjunto de valores muéstrales, es la medida de variación de los valores con respecto a la media. Es un tipo de desviación promedio de los valores con respecto a la media.” (Pág. 94.)

BIBLIOGRAFIA

Triola, Mario F. 2009, Estadística, Décima edición: Editorial Pearson educación, México

DESVIASIÓN MEDIA

Según (Murray R. Spiegel, 1991) “La desviación media o desviación promedio, de un conjunto de N números es abreviada por MD y se define como desviación media.”(Pág.91)

BIBLIOGRAFIA

Murray R. Spiegel 1991, Estadística, 2 ed. Editorial McGraw-Hill Interamericana de España, S.A

DESVIASIÓN MEDIANA

Según (Jay L.Devore, 2008) “Las medidas principales de variabilidad implican las desviaciones de la media, X1 _ x_, x2 _ x_, . . . , xn _ x_. Es decir, las desviaciones de la media se obtienen restando x_ de Cada una de la n observaciones muéstrales. Una desviación será positiva si la observaciónEs más grande que la media (a la derecha de la media sobre el eje de medición) y negativa Si la observación es más pequeña que la media. Si todas las desviaciones son pequeñas en Magnitud, entonces todas las xi se aproximan a la media y hay poca variabilidad.” (Pág. 2)

BIBLIOGRAFIA

Jay L.Devore 2008, Probabilidad Y Estadística Para Ingeniería y Ciencias, Séptima edición, Por Cengage Learning México

RANGO

De acuerdo a (Mendenhall Beaver, 2010) “El rango, de un conjunto de mediciones se define como la diferencia entre la medición más grande y más pequeña.” (Pág.61)
Según (Murray R. Spiegel, 1991) “El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el mayor y el menor de todos ellos.”(Pág.91)

BIBLIOGRAFIA

Murray R. Spiegel 1991, Estadística, 2 ed. Editorial McGraw-Hill Interamericana de España, S.A
Willian Mendenhall 2010, Introduccion A La Probabilidad Y Estadistica” 13 edición: Editorial Cengage Learning, México

3.9 HISTOGRAMAS

Según (Seymour Lipschutz, 1992) “Es una representación gráfica de una distribución de frecuencia, de frecuencia relativa o de frecuencia porcentual que se construye colocando los intervalos de clase sobre un eje horizontal y la frecuencia, la frecuencia relativa o la frecuencia porcentual sobre un eje vertical.” (Pág. 293)
(Willian Mendenhall, 2010) Señala que: “Es un conjunto de datos cuantitativos es una gráfica de barras en la altura de la barra muestra “con qué frecuencia” (mediante como proporción o frecuencia relativa) las mediciones caen en una clase o su intervalo particular. Las clases o su intervalos se grafican a lo largo del eje horizontal.” (Pág. 25)
De acuerdo a (Jay L. Devore, 2008) “Un histograma o histograma de frecuencia consiste en un conjunto de rectángulos que tienen: a) sus bases sobre un eje horizontal (el eje X), con su centro coincidiendo con las marcas de clase de longitudes iguales a ala aptitud de intervalo de clase, y b) área proporcionales a las frecuencias de clase.” (Pág. 39)

BIBLIOGRAFIA

Willian Mendenhall 2010, Introduccion A La Probabilidad Y Estadistica” 13 edición: Editorial Cengage Learning, México
Jay L.Devore 2008, Probabilidad Y Estadística Para Ingeniería y Ciencias, Séptima edición, Por Cengage Learning México
Seymour Lipschutz 1992, Matematicas Para Computación, Primera edición: Editorial McGraw-Hill Interamericana de México

INGENIERÍA INFORMÁTICA

3er. SEMESTRE

G-103

sábado, 5 de septiembre de 2015

TÉCNICAS DE CONTEO

1.1 PRINCIPIO ADITIVO

Según (Carlos Prado Campos, 1970) “Supongamos que un procedimiento, designado con 1, se puede hacer n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento, designado con 2, se puede hacer de n2 maneras. Supongamos además que no es posible que ambos, 1 y 2, se hagan juntos. Entonces, el número de maneras como se puede hacer 1 o 2 es n1 + n2”. (pág.32)
De acuerdo a (Ralph P. Grimaldi, 1989) “Si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una segunda se puede efectuar de n maneras, y no se pueden realizar las dos tareas simultáneamente, entonces realizar cualquiera de ellas se puede lograr de m + n maneras”. (pág.1)
Ignacio M. Lizárraga Gaudry, 1980, señala que: “Si el suceso P1 ocurre de n1 formas diferentes y el suceso P2 ocurre de n2, el suceso (P1 o P2) ocurre de (n1 + n2) maneras diferentes”. (pág. 10)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE PRINCIPIO ADITIVO

Supongamos que planeamos un viaje y debemos decidir entre transportarnos por autobús o por tren. Si hay tres rutas para el autobús y dos para el tren, entonces hay 3 + 2= 5 rutas diferentes disponibles para el viaje.
La biblioteca de una universidad tiene 40 libros de texto de sociología y 50 de antropología. Por la regla de la suma, un estudiante de esta universidad puede elegir entre 40 + 50= 90 libros de texto para aprender acerca de alguno de estos dos temas.
Una pareja de recién casados que ha juntado el dinero suficiente para dar el enganche de una casa, tiene las siguientes alternativas: En el primer fraccionamiento Jardines de las Flores les ofrecen tres opciones diferentes y en el segundo fraccionamiento Villa de los Vientos dos opciones, de manera que tienen un total de 3+ 2= 5 opciones.

BIBLIOGRAFÍA

Carlos Prado Campos, 1970. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Editorial Addison Wesley Iberoamericana.
Ralph P. Grimaldi, 1989. Matemáticas Discretas y Combinatoria. Tercera Edición, E.U.A: Editorial Addison Wesley Iberoamericana.
Ignacio M. Lizárraga Gaudry, 1980. Probabilidad. Editorial Mc Graw Hill.

1.2 PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Según (William W. Hines y Douglas C. Montgomery, 1994) “Si los conjuntos A1, A2,... Ak tienen, respectivamente, n1, n2,... nk elementos, entonces existen n1* n2 *. . .* nk formas de seleccionar primero un elemento de A1, seleccionar después un elemento de A2,…, y finalmente seleccionar un elemento de Ak”. (pág. 43)
De acuerdo a (Carlos Prado Campos, 1970) “Supongamos que un procedimiento, designado como 1, puede hacerse de n1 maneras. Supongamos que un segundo procedimiento, designado como 2, se puede hacer de n2 maneras. También supongamos que cada una de las maneras de efectuar 1 puede ser seguida por cualquiera de las maneras de efectuar 2. Entonces el procedimiento que consta de 1 seguido por 2 se puede hacer de n1 n2 maneras”. (pág. 31)
Ralph P. Grimaldi, 1989, señala que: “Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay m posibles resultados para la primera etapa y n para la segunda, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden designado, de mn maneras”. (pág. 2)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Un proceso de manufactura se realiza con “inspección durante el proceso” casi nula. Cuando los artículos se terminan se transportan a una zona de inspección, y se evalúan cuatro características, cada una por un inspector distinto. El primer inspector evalúa una característica de acuerdo a una de cuatro tazas, el segundo inspector utiliza tres tazas, y los inspectores tercero y cuarto utilizan dos tazas cada uno. Todo inspector marca la evaluación en la etiqueta de identificación del artículo. Habrá un total de 4 * 3 * 2 * 2= 48 formas en las cuales el artículo puede marcarse.
Para tomar una decisión acerca de la expansión de una planta, una administradora asigna 12 de sus empleados a dos comités. El comité A consta de cinco miembros e investigara los posibles resultados favorables de tal expansión. Los otros siete empleados, el comité B, harán un escrutinio de las posibles repercusiones desfavorables. Si antes de tomar una decisión la administradora decidiera hablar con uno solo de los que pertenecen a uno de los comités, entonces, por la regla de la suma, hay 12 empleados a los que podría llamar para informarse. Sin embargo, para ser más imparcial, antes de tomar su decisión determina hablar el lunes con un miembro del comité A, y el martes con un miembro del comité B. al utilizar el siguiente principio se observa que la administradora puede hablar con dos de dichos empleados de 5 x 7= 35 maneras.
El grupo de teatro de la Universidad Central está haciendo pruebas para la obra de primavera. En vista de que se presentas seis hombres y ocho mujeres para los papeles principales masculino y femenino, por la regla del producto el director puede formar el reparto de su pareja principal de 6 x 8= 48 maneras.

BIBLIOGRAFÍA

William W. Hines y Douglas C. Montgomery, 1994. Probabilidad y Estadística. Tercera Edición, México D.F.: Editorial CECSA.
Carlos Prado Campos, 1970. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. Editorial Addison Wesley Iberoamericana.
Ralph P. Grimaldi, 1989. Matemáticas Discretas y Combinatoria. Tercera Edición, E.U.A: Editorial Addison Wesley Iberoamericana.
Ignacio M. Lizárraga Gaudry, 1980. Probabilidad. Editorial Mc Graw Hill.

1.3 NOTACIÓN FACTORIAL

Según (Seymour Lipschutz, 1992) “Se usa la notación n!, léase “n factorial”, para denotar el producto de los enteros positivos de 1 a n”, inclusive:
n! = 1 * 2 * 3 * * * * * (n-2) (n-1)n

Equivalentemente, se define n! por

1! = 1     y     n! = n * (n-1)!
También es conveniente definir 0! = 1. (Pág. 257)
De acuerdo a (Ralph P. Grimaldi, 1997) “Para un entero n ≥ 0, n factorial (que se denota con n!) Se define como:
0!=1
n!=(n) (n-1) (n-2) * * * (3) (2) (1),   para n ≥ 1.” (Pag.7)
(José A. Jiménez Murillo, 2009) señala que: “Hay que recordar el factorial de n, denotado como n!, se define como:

(Pág. 46)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE NOTACIÓN FACTORIAL

BIBLIOGRAFÍA

Seymur Lipschutz, 1992. Matemáticas Para Computación. Primera Edicion, México: Editorial Mc Grall-Hill
Ralph P. Grimaldi, 1989. Matemáticas Discretas y Combinatoria. Tercera Edición, E.U.A: Editorial Addison Wesley Iberoamericana.
José A. Jimenez Murillo, 2009. Matemáticas Para La Computación, Primera Edición, México: Editorial Alfaomega

1.4 PERMUTACIONES

Según (Seymour Lipschutz, 1992) “Cualquier arreglo de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Cualquier arreglo de cualquier r ≤ n de estos objetos en un orden dado se llama una permutación o una permutación de n objetos tomados r a la vez”. (Pág. 260)
De acuerdo a (José A. Jiménez Murillo, 2009) “Las permutaciones son el número de formas en que uno o varios objetos pueden colocarse, intercambiando sus lugares y siguiendo ciertas reglas específicas para guardar un orden. También se puede considerar como todo arreglo en el que es importante la posición que ocupa cada uno de los elementos que integran dicho arreglo”. (Pág. 46)
(Douglas C. Montgomery, 1993) señala que: “Una permutación es un arreglo de objetos distintos. Una permutación difiere otra si el orden del arreglo o el contenido difieren.” (Pág. 51,52)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE PERMUTACIONES

BIBLIOGRAFÍA

Seymur Lipschutz, 1992. Matemáticas Para Computación. Primera Edición, México: Editorial Mc Grall-Hill
José A. Jimenez Murillo, 2009. Matemáticas Para La Computación, Primera Edición, México: Editorial Alfaomega
William W. Hines Y Douglas C. Montgomery, 1993. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Administración. Tercera Edición, Editorial CECSA

1.5 COMBINACIONES

Según (Seymour Lipschutz, 1992) “Supóngase que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos tomando r a la vez es cualquier selección de r de los objetos en donde el orden no importa. En otras palabras, una combinación de n objetos tomando r a la vez es cualquier subconjunto que contenga r objetos”. (Pág. 262, 263)
De acuerdo a (José A. Jiménez Murillo, 2009) “Es todo arreglo de elementos que se seleccionan de un conjunto, en donde no interesa la posición que ocupa cada uno de los elementos en el arreglo, esto es, no importa si un elemento determinado es el primero, el de en medio o el que está al final del arreglo. El número de combinaciones d n objetos distintos, tomados r a la vez.” (Pág. 52) Se encuentra dado por la expresión:
(Elena De Oteyza, 1998) señala que: “Dados n objetos y m ≤ n, una combinación de n objetos, tomados de m en m es cualquiera de las diferentes maneras en que se pueden elegir m objetos sin importar el orden en que se presentan. Es decir, el número de subconjuntos de m elementos que tiene un conjunto de n elementos.” (pag.219)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE COMBINACIÓN

BIBLIOGRAFÍA

Seymur Lipschutz, 1992. Matemáticas Para Computación. Primera Edición, México: Editorial Mc Grall-Hill
José A. Jimenez Murillo, 2009. Matemáticas Para La Computación, Primera Edición, México: Editorial Alfaomega
Elena De Oteyza De Oteyza, 1998. Temas Selectos Matemáticas, Primera Edición, Editorial Pearson.

1.6 DIAGRAMA DE ÁRBOL

Según (Seymour Lipschutz, 1992) “Un diagrama de árbol (con raíz) ayuda en el uso del principio fundamental de conteo exhibiendo todos los resultados posibles de una sucesión de eventos en donde cada evento puede ocurrir de un numero finito de maneras.” (Pág. 263)
De acuerdo a (Douglas C. Montgomery, 1993) “Supóngase que los datos están representados por x1, x2,…, xn y que cada número xi consta de al menos dos dígitos. Para construir un diagrama de árbol, dividimos cada número xi en dos partes: un tronco, consistente en uno o más de los primeros dígitos, y una hoja, consistente en los dígitos restantes.” (Pág. 21)
(Jay L. Devore, 1998) señala que: “En muchos problemas de conteo y probabilidad, se puede utilizar una configuración conocida como diagrama de árbol para representar pictóricamente todas las posibilidades. Partiendo de un punto localizado en el lado izquierdo del diagrama, por cada posible primer elemento de un par emana un segmento de línea recta hacia la derecha. Cada una de estas líneas se conoce como rama de primera generación. Ahora para cualquier rama de primera generación se construye otro segmento de línea que emana de la punta de la rama por cada posible opción de un segundo elemento del par. Cada segmento de líneas es una rama de segunda generación”. (Pág. 60,61)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE DIAGRAMAS DE ÁRBOL

BIBLIOGRAFÍA

Jay L. Devore, 2008. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias, Séptima Edición, México: Editorial Cengage Learning
William W. Hines Y Douglas C. Montgomery, 1993. Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Administración. Tercera Edición, Editorial CECSA
Seymur Lipschutz, 1992. Matemáticas Para Computación. Primera Edición, México: Editorial Mc Grall-Hill

1.7 TEOREMA DEL BINOMIO

De acuerdo a (José A. Jiménez Murillo, 2009) “Considérese el problema de elevar un binomio a una cierta potencia, por ejemplo:

Entonces

De esta manera se obtiene la conocida regla que establece que un binomio elevado al cuadrado es igual al cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Los coeficientes de este trinomio resultante se pueden obtener también por medio de la expresión matemática para calcular el número de combinaciones de n objetos, en bloques de r, como se muestra a continuación:

A los coeficientes

De cada uno de los factores en que se descompone un binomio elevado a una potencia n se les llama coeficientes binomiales de newton, y para obtenerlos sólo hay que aplicar la formula

Lo cual elimina la necesidad de hacer una larga multiplicación o de aprenderse cualquier regla nemotécnica.”(Pág. 57-59)

2.(Elena De Oteyza, 1998) señala que: “Un binomio es una expresión de la forma a + b. Estas expresiones se encuentran con frecuencia en el planteamiento y resolución del problema. Aparecen también establecer algunas propiedades de los números reales. Como ejemplo tenemos la propiedad distributiva: si a, b y c son tres números reales entonces:

(a + b) c = ac + bc.

Esta propiedad relaciona a las dos operaciones fundamentales de los números reales, la suma y la multiplicación, y ella junto con la conmutatividad de dichas operaciones nos permite escribir la identidad:

(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd,

Que es validad para cualesquiera cuatro números reales a, b, c y d.

Cuando los dos factores del miembro izquierdo son el mismo binomio digamos a + b. la identidad anterior se reduce a:

Con ayudad de ella y escribiendo

obtenemos otra fórmula de tipo similar:

Puede continuarse con exponentes mayores.” (Pag.220, 221)

3. Según (Richard Johnsonbaugh, 2005) “Proporciona una fórmula para los coeficientes en la expansión de

como

La expresión es el resultado de seleccionar a o b en cada uno de los n factores, multiplicando las selecciones y después sumando todos los productos obtenidos.” (Pág. 266, 267)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE DIAGRAMAS DE ÁRBOL

BIBLIOGRAFÍA

Richard Johnsonbaugh, 2005. Matemáticas Discretas, Sexta Edición, Editorial Pearson
Elena De Oteyza De Oteyza, 1998. Temas Selectos Matemáticas, Primera Edición, Editorial Pearson.
José A. Jimenez Murillo, 2009. Matemáticas Para La Computación, Primera Edición, México: Editorial Alfaomega

1.8 TRIÁNGULO DE PASCAL

De acuerdo a (José A. Jiménez Murillo, 2009) “Otra aplicación en computación es el desarrollo de un programa para obtener el triángulo de Pascal, el cual tiene la siguiente forma:

Hay que observar que el triángulo de Pascal cada número mayor que uno es igual a la suma de los números que están a la izquierda y a la derecha del mismo en la línea inmediata anterior, por ejemplo, 4 = 1 + 3 = 3 + 1 o bien 10 = 4 + 6 = 6 + 4. Usando el coeficiente binomial de newton

es posible obtener el triángulo de pascal de la siguiente forma:

Obsérvese que los coeficientes del triángulo de pascal no son otra cosa que los coeficientes del teorema binomial.” (Pág. 60)

Según (Elena De Oteyza, 1998) “Es llamado triángulo de Pascal, en honor del matemático francés Blaise Pascal. Cada región, a partir del tercero, se forma mediante la siguiente regla: se inicia y se termina con 1; el resto de los números se obtiene al sumar en el renglón anterior y de la izquierda a derecha, cada número con el que le sigue.” (Pág. 223)
(Richard Johnsonbaugh, 2005) señala que: “El contorno está formado por unos, y cualquier valor interior es la suma de los números arriba de él. Esta relación se establece formalmente en el siguiente teorema. La demostración es un argumento combinatorio. Una identidad que se obtiene de un proceso de conteo se llama identidad combinatoria y el argumento que se lleva a su formulación se llama argumento combinatorio.” (Pág. 268)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DEL TRIÁNGULO DE PASCAL

BIBLIOGRAFÍA

Elena De Oteyza De Oteyza, 1998. Temas Selectos Matemáticas, Primera Edición, Editorial Pearson.

José A. Jiménez Murillo, 2009. Matemáticas Para La Computación, Primera Edición, México: Editorial Alfaomega
Richard Johnsonbaugh, 2005. Matemáticas Discretas, Sexta Edición, Editorial Pearson

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE PROBABILIDAD

2.1 TEORÍA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD

De acuerdo a (Jay l. Devore, 2005) “El término probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cualquier situación donde podría ocurrir uno de varios resultados posibles, la teoría de la probabilidad proporciona métodos para cuantificar las probabilidades relacionada con varios resultados.” (pág. 52)
(Murray R. Spiegel, 1991) señala que: “Cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso especifico ocurrirá o no. Como medida de la oportunidad o probabilidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra es conveniente asignar un número entre 0 y 1. Pero si estamos seguros de que el suceso ocurrirá decimos que su probabilidad es 100% ó 1, pero si estamos seguros de que el suceso no ocurrirá decimos que su probabilidad es cero.”(pág. 5)
Según (J. Sussan Milton, Jesse C. Arnold, 2004)

La probabilidad es un número entre 0 y 1, inclusive que refleja cuan factible es que ocurra un evento físico.

Que la probabilidad sea cercana a 1 indica que es muy factible que ocurra el evento. Ello no significa que el evento no ocurrirá, si no únicamente que se considera que es una ocurrencia común.

Que la probabilidad sea cercana a 0 refleja que es muy poco factible que tenga lugar el evento. Ello no significa que necesariamente no ocurrirá, si no tan solo que es un evento raro.

Que la probabilidad sea cercana a indica es igualmente factible que el evento ocurra o no.

Puesto que los números entre 0 y 1 pueden expresarse como porcentaje que van de 0 a 100, es usual representar las probabilidades en forma porcentual. Ello es particularmente común en escritos de naturaleza no técnica.(Pág. 3)

Las propiedades recién descritas son lineamientos para interpretar las probabilidades una vez que se conocen, sin que indiquen cómo asignar probabilidades a los eventos. Tres métodos son de uso generalizado: el enfoque personal, el de frecuencia relativa y el clásico. Estos métodos se ilustran en lo ejemplos siguientes:

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE TEORÍA ELEMENTAL DE PROBABILIDAD

Ocurrió un derramen de petróleo. Un científico ambientalista pregunta: “¿Cuál es la probabilidad de que este derrame pueda controlarse antes de que cause daño generalizado en las playas cercanas?” son muchos los factores que participan, entre ellos el tipo de derrame, el volumen de petróleo derramado, las condiciones de viento y agua durante las operaciones de limpieza, y las cercanías de las playas. Estos factores hacen que este derrame sea único. Se pide al científico que elabore un juicio de valor, es decir, que asigne una probabilidad al evento con base en su opinión personal informada.

La ventaja principal del enfoque personal es que siempre resulta aplicable. Todo mundo puede tener una opinión personal acerca de cualquier cosa. Su principal desventaja, por supuesto, radica en que su precisión depende de la exactitud de la información disponible y la capacidad del científico para evaluar de manera correcta esa información.
Un ingeniero eléctrico estudia la demanda máxima en una planta generadora de electricidad. Se observa que en 80 de 100 días seleccionados aleatoriamente para estudio, de registros pesados, la demanda máxima ocurre entre las 18:00 y 19:00 horas. Es natural suponer que la probabilidad de que ello ocurra en cualquier otro día son por lo menos aproximadamente de:

Esta cifra no es simplemente una opinión personal. Se basa en la experimentación y observación repetidas. Es una frecuencia relativa.

El enfoque de frecuencia relativa puede usarse siempre que sea posible repetir muchas veces el experimento y observar sus resultados. En tales casos, la probabilidad de que ocurra el evento A, denotada por P[A], se calcula de manera aproximada como sigue:

La desventaja de este enfoque consiste en que el experimento no puede ser una situación que ocurra una sola vez, sino que debe ser susceptible de repetirse. Recuérdese que toda probabilidad obtenida de esta manera es una aproximación. Se trata de un valor basado en n ensayos. Sin embargo, tienden a ser menores los cambios de los valores aproximados que se obtienen conforme aumenta el número de ensayos. Así pues, con un número de ensayos más altos, suele ser muy precisa la probabilidad aproximada que se obtenga con el enfoque de la frecuencia relativa.

3. ¿Cuál es la probabilidad de que el hijo de una pareja heterocigota para el color de los ojos (es decir, que cada uno de sus miembros tiene genes para ojos cafés y azules) tenga ojos cafés? A fin de responder a esta pregunta, debe tomarse nota de que, puesto que el niño recibe un gen de cada progenitor, las posibles combinaciones son (café, azul), (azul, café), (azul, azul) y (café, café), donde el primer miembro de cada par indica el gen que recibe del padre. Ya que cada progenitor tiene iguales probabilidades de contribuir con un gen para ojos cafés o para ojos azules, las cuatro posibilidades tienen la misma probabilidad. El gen de ojos cafés es dominante, de modo que tres de las cuatro posibilidades llevan a ojos cafés. Así pues, las probabilidades de que el hijo tenga ojos cafés son de

. En este ejemplo, la probabilidad no se basa en una opinión personal ni en la experimentación repetida. De hecho, se calcula con el método clásico. Éste puede usarse solamente cuando es razonable suponer que los posibles resultados del experimento son igualmente probables. En este caso, la probabilidad de que ocurra el evento A está dada por la fórmula clásica:

Una ventaja de este método es que no requiere experimentación. Por añadidura, si en verdad los resultados son igualmente posibles, la probabilidad asignada al evento A no es una aproximación. Es una descripción precisa de la frecuencia con la que ocurrirá el evento A.

BIBLIOGRAFÍA

(J. Susan Milton, Jesse C. Arnold, 2004) Probabilidad y Estadística con Aplicaciones Para Ingeniería y ciencias computacionales. 4ª. Edición, México: Editorial Mc Graw-Hill.
(Jay L. Devore, 2005) Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Séptima Edición, México, D.F: Editorial Cengage Learning.
(Murray R. Spiegel, 1991) Probabilidad y Estadística. Primera Edición, México: Editorial Mc Graw-Hill.

2.2 PROBABILIDAD DE EVENTOS

ESPACIO MUESTRAL

(J. Sussan Milton, Jesse C. Arnold, 2004) señala que: “Un espacio muestral de un experimento es un conjunto S con la propiedad de que cada resultado físico del experimento corresponde solamente a un elemento de S. Cada uno de estos elementos se llama punto muestral.” (Pág. 5)
Según (Wackerly Mendenhall Scheaffer, 2008) “El espacio muestral asociado con un experimento es el conjunto formado por todos los Posibles puntos muéstrales. Un espacio muestral estará denotado por S. Fácilmente podemos ver que el espacio muestral S asociado con el experimento de lanzar un dado está formado por seis puntos muéstrales correspondientes a los seis eventos simples E1, E2, E3, E4, E5 y E6. Esto es, S = {E1, E2, E3, E4, E5, E6}.” (Pág. 28)
De acuerdo a (Walpole, Ronald E., 1999) “El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se llama espacio muestral y se representa con el símbolo s.” (pág. 11)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE ESPACIO MUESTRAL

Ejemplo de microbiología de contar bacterias en un espécimen de alimento, hagamos Que E0 corresponda a observar 0 bacterias, E1 a observar 1 bacteria y así sucesivamente. Entonces el espacio muestral es S = {E0, E1, E2,…}
Considere el experimento de lanzar un dado. Si nos interesara el número que aparece en La cara superior, el espacio muestral seria S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si solo estuviéramos interesados en si el número es par o impar, el espacio muestral seria Simplemente S2 = {par, impar}
Simple de experimento estadístico es el lanzamiento de una moneda al aire. En tal experimento solo hay dos resultados posibles: cara o cruz.

BIBLIOGRAFÍA

(J. Susan Milton, Jesse C. Arnold, 2004) Probabilidad y Estadística con Aplicaciones Para Ingeniería y ciencias computacionales. 4ª. Edición, México: Editorial Mc Graw-Hill.
(Wackerly Mendenhall Scheaffer, 2008) Estadística matemática con aplicaciones. Séptima Edición, México: Editorial Cengage Learning.
(Walpole, Ronald E., 1999) probabilidad y estadística para ingenieros. Sexta Edición, México: Pearson.

EVENTO

De acuerdo a (J. Sussan Milton, Jesse C. Arnold, 2004) “Todo subconjunto A de un espacio muestral se llama evento. El conjunto vacío Ø se denomina evento imposible, y el subconjunto S, evento cierto.” (Pág. 6)
Según (Walpole, Ronald E., 1999) “Para cualquier experimento dado podemos estar interesados en la ocurrencia de cierto eventos más en el resultado de un elemento especifico en el espacio muestral.” (pág. 13)
(Jay L. Devore, 2005) señala que: “Un evento es cualquier colección (subconjunto) de resultados contenido en el espacio muestral S. se dice que un evento simple si consiste en exactamente un resultado, y compuesto si consta de más de uno.” (pág. 54)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE EVENTOS

Ejemplo relacionado con determinar el número de bacterias en una porción de alimento, el evento B (el número de bacterias es mayor que 200) se puede expresar como B = {E201, E202, E203,. . .}, donde Ei denota el evento simple de que hay i bacterias presentes en la muestra de alimento Ei = 0, 1, 2,…
Ejemplo Sea M= {a, e, i, o, u} y N= {r, s, t}; entonces se sigue que M ∩ N = Ø. Es decir, M y N no tienen elementos en común y, por tanto, no pueden ocurrir ambos de forma simultánea. (Pág. 15)
Podríamos estar interesados en el evento B de que el número de artículos defectuosos sea mayor que 1 en él. Esto ocurrirá si el resultado es un elemento del subconjunto B = {DDN, DND, NDD, DDD}.

BIBLIOGRAFÍA

(J. Susan Milton, Jesse C. Arnold, 2004) Probabilidad y Estadística con Aplicaciones Para Ingeniería y ciencias computacionales. 4ª. Edición, México: Editorial Mc Graw-Hill.

(Jay L. Devore, 2005) Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Séptima Edición, México, D.F: Editorial Cengage Learning.

(Walpole, Ronald E., 1999) probabilidad y estadística para ingenieros. Sexta Edición, México: Pearson.

UNION

Según (Ramón Espinoza Armenta, 2010) “La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A υ B = {x |x ϵ A o x ϵ B}.”

Las siguientes propiedades de la unión son inmediatas a partir de la definición:

2. (Jay L. Devore, 2008) señala que: “La unión de dos eventos

, denotados por

y leidos “

”, es el evento que consiste en todos los resultados que están en

o en

ocurren, así también resultados donde ocurre exactamente uno), es decir, todos los resultados en por lo menos uno de los eventos.” (Pág.49)

3. De acuerdo a (Walpole, Ronald E., 1999) “La unión de dos eventos A y B, que se denota mediante el símbolo A U B, es el evento que contiene todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.” (pág. 15)

EJEMPLO DEL USO O APLICACIÓN DE LA UNIÓN

Sea A= {a, b, c} y B= {b, c, d, e}; entonces AUB = {a, b, c, d, e}.
Sean los conjuntos: A = {1,2, 3, 6, 7, 8} y B = {x | x e Z+; x < 12; x es par} Aplicando la definición de unión de conjuntos se tiene que: A u B= {l, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12}.

BIBLIOGRAFÍA

(Jay L. Devore, 2005) Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Séptima Edición, México, D.F: Editorial Cengage Learning.

(Walpole, Ronald E., 1999) probabilidad y estadística para ingenieros. Sexta Edición, México: Pearson.

(Ramón Espinoza Armenta, 2010) Matemáticas Discretas. Primera Edición, México: Editorial Alfaomega.

INTERSECCIÓN

Según (Ramón Espinoza Armenta, 2010) “La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto: A ∩ B = {x |x ϵ A y x ϵ B}.”(Pag.19)
(Jay L. Devore, 2008) señala que: “La intersección de dos eventos , denotada por y leida “”, es el evento que consiste en todos los resultados que están tanto en como en .” (Pág.49)
De acuerdo a (Walpole, Ronald E., 1999) “La intersección de dos eventos A y B, denotada mediante el símbolo A∩B, es el evento que contiene a todos los elementos que son comunes a A y a B.” (pág. 15)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE INTERSECCIÓN

Sea P el evento de que una persona seleccionada al azar mientras cena en un restaurante de moda sea un contribuyente, y sea Q el evento de que la persona tengas más de 65 años de edad. Entonces el evento P∩Q es el conjunto de todos los contribuyentes en el restaurante que tiene más de 65 años de edad.
Sean los conjuntos: A = {1,2, 3, 6, 7, 8} y B = {x | x e Z+; x < 12; x es par} Aplicando la definición de intersección de conjuntos se tiene que: A n B = {2, 6, 8}

BIBLIOGRAFÍA

(Ramón Espinoza Armenta, 2010) Matemáticas Discretas. Primera Edición, México: Editorial Alfaomega.

(Jay L. Devore, 2005) Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Séptima Edición, México, D.F: Editorial Cengage Learning.

(Walpole, Ronald E., 1999) probabilidad y estadística para ingenieros. Sexta Edición, México: Editorial Pearson.

DIAGRAMAS DE VENN

Según (Ramón Espinoza Armenta, 2010) “Es una representación esquemática de subconjuntos de X por subconjuntos del plano. El conjunto X usualmente es representado por un rectángulo, y un conjunto A X es representado por el interior de una curva simple cerrada dentro del rectángulo.”(Pág. 19)

En la siguiente figura se muestra el diagrama de Venn de la unión de dos conjuntos.

2. De acuerdo a (Murray R. Spiegel) “Un universo U puede representarse geométricamente por el conjunto de puntos dentro de un rectángulo en tal caso los subconjuntos de U (como A y B indicados y sombreados en la siguiente figura) se representan por conjuntos de puntos dentro de los círculos. Tales diagramas denominados diagramas de Venn, sirven para darnos una intuición geotérmica respecto a las posibles relaciones entre conjuntos.”(Pág. 5)

3. (Elmer B. Mode ,1982) señala que: “Es un conjunto mediante puntos, y al conjunto mismo mediante un agregado de estos puntos contenidos dentro de un círculo o de cualquier región cerrada simple. Esta forma, que se emplea para derivar las propiedades de los conjuntos, fue sugerida por John Venn, en 1881. Una forma convenientes, aunque no estrictamente necesaria de representar al conjunto universal.”(Pág.10)

BIBLIOGRAFÍA

(Murray R. Spiegel, 1991) Probabilidad y Estadística. Primera Edición, México: Editorial Mc Graw-Hill.

(Ramón Espinoza Armenta, 2010) Matemáticas Discretas. Primera Edición, México: Editorial Alfaomega.

(Elmer B. Mode ,1982) Elementos de probabilidad y estadística. Primera Edición, México: Editorial REVERTÉ

2.3 PROBABILIDAD CON TÉCNICAS DE CONTEO

AXIOMAS

Según (Seymour Lipschutz, 1968) “Sea un espacio muestral, sea la clase de eventos y sea una función de valores reales definida en . Entonces se llama función de probabilidad. Y es llamada la probabilidad del evento si se cumplen los siguientes axiomas.” (Pág.40)
De acuerdo a (Harold J. Larson 1978) “Supóngase que tenemos un espacio muestral S. si S es discreto todos los subconjunto corresponden a suceso y recíprocamente, pero si S es continuo solamente subconjunto especiales (llamados medibles) corresponden a sucesos. A cada suceso A en la clase C de sucesos asociamos un número real p(A), es decir p es una función de valor real definida en C.”(Pág. 6)
(Murray R. Spiegel) señala que: “Supóngase que tenemos un espacio muestral e.t. Si d es discreto todos los subconjuntos corre 6, ponen a sucesos y recíprocamente, pero si e.t es continuo solamente subconjuntos especiales (llamados medibles) corresponden a sucesos. A cada suceso A en la clase C de sucesos asociamos un número real P (A), es decir P es una función de valor real definida en f. Así P se llama la función de probabilidad, y P(A) la probabilidad del suceso A, si se satisfacen los axiomas siguientes:

Axioma 1. Para cada suceso A en la clase C

P(A) > 0

Axioma 2. Para el suceso cierto o seguro eJ en la clase C

P(eJ) = I

Axioma 3. Para cualquier número de sucesos mutuamente excluyentes At, Bz, . . . en la clase C

P(AtuAzu '..) - P(/.1) + P(A2) + .'.

En particular, para solo dos sucesos mutuamente excluyentes At, Az, P(AL:AI) = P(Ai +P(Ar)

BIBLIOGRAFÍA

(Murray R. Spiegel, 1991) Probabilidad y Estadística. Primera Edición, México: Editorial Mc Graw-Hill

(Seymour Lipschutz, 1968) Probabilidad, Primera edición, Editorial MC GRAW HILL, México S. A. de C. V.

TEOREMAS

(Murray R. Spiegel, 1991) señala que: “Los axiomas anteriores podemos demostrar varios teoremas sobre probabilidad que son importantes en el estudio posterior.”(Pág. 6,7)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DEL TEOREMA

BIBLIOGRAFÍA

(Murray R. Spiegel, 1991) Probabilidad y Estadística. Primera Edición, México: Editorial Mc Graw-Hill.

2.4 PROBABILIDAD CONDICIONAL

INDEPENDIENTE

Según (Murray R. Spiegel, 1991) “Sucesos independientes si p(B|A) = P(B), es decir la probabilidad de que B ocurra no estas afectada por la ocurrencia o no ocurrencia de A, entonces decimos que A y B son sucesos independientes.”(Pág. 9)
V(Jay L. Devore, 2008) señala que: “Los eventos A y B son independientes si P(A | B) _ P(A) y son dependientes de lo contrario. La definición de independencia podría parecer “no simétrica” porque no demanda también que P(B | A) _ P(B). Sin embargo, utilizando la definición de probabilidad condicional y la regla de multiplicación,

"(Pág. 77)
De acuerdo a (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Bárbara M. Beaver, 2010) “La noción de independencia como concepto probabilístico está de acuerdo con nuestro
Uso diario de la palabra si cuidadosamente consideramos los eventos en cuestión.”(Pág. 56)

BIBLIOGRAFÍA

(William Mendenhall, Robert J. Beaver y Bárbara M. Beaver, 2010) Introduccion a la Probabilidad y Estadística. Décima Tercera Edición, México: Editorial Cengage Learning.

(Murray R. Spiegel, 1991) Probabilidad y Estadística. Primera Edición, México: Editorial Mc Graw-Hill.

(Jay L. Devore, 2005) Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Séptima Edición, México, D.F: Editorial Cengage Learning.

2.5 LEY MULTIPLICATIVA

Según (Jay L. Devore, 2008) “La definición de la probabilidad condicional da el siguiente resultado, obtenido multiplicando ambos miembros de la ecuación.”(Pág.69)
De acuerdo a (Walpole, Ronald E., 1999) “Al multiplicar la fórmula por P(A), obtenemos la siguiente regla Multiplicativa importante (o regla de producto), que nos permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos. Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces P(A ∩ B) = P(A) P (B|A), siempre que P(A) > 0.”(Pág. 64)

BIBLIOGRAFÍA

(Jay L. Devore, 2005) Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Séptima Edición, México, D.F: Editorial Cengage Learning.

(Walpole, Ronald E., 1999) probabilidad y estadística para ingenieros. Sexta Edición, México: Editorial Pearson.

2.6 EVENTOS INDEPENDIENTES

REGLA DE BAYES

Según (Murray R. Spiegel, 1991) “Supongase que A1,A2…An son sucesos mutuamente excluyentes cuya unicion es el espacio muestral S. es decir uno de los sucesos debe ocurrir.entonces si A es cualquier suceso tenemos el siguiente teorema importantes: (Pág. 9)
De acuerdo a (Jay L. Devore, 2008) “El cálculo de una probabilidad posterior a partir de probabilidades previas dadas y probabilidades condicionales ocupa una posición central en la probabilidad elemental. La regla general de dichos cálculos, los que en realidad son una aplicación simple de la regla de la multiplicación, se remonta al reverendo Thomas Bayes, quien vivió en el siglo XVII.” (Pág.72)
(Seymour Lipschutz, 1968) señala que: “Supongamos que los eventos forman una partición de un espacio muestral ; esto es, que los eventos son mutuamente exclusivos y su unión es . Ahora sea. Otro evento.”(Pág.56)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE REGLA DE BAYES

Tres máquinas A, B y C producen respetivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si selecciona al azar un artículo. Hallar la probabilidad de que el artículo sea defectuoso.

Sea

el evento de que un artículo es defectuoso. Entonces según (1) visto atrás,

BIBLIOGRAFÍA

(Jay L. Devore, 2005) Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Séptima Edición, México, D.F: Editorial Cengage Learning.

(Murray R. Spiegel, 1991) Probabilidad y Estadística. Primera Edición, México: Editorial Mc Graw-Hill.

(Seymour Lipschutz, 1968) Probabilidad, Primera edición, Editorial MC GRAW HILL, México S. A. de C. V.

2.7 VARIABLE ALEATORIA

Según (Walpole, Ronald E., 1999) “Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.” (pág. 51)
De acuerdo a (Jay L Devore, 2005) “Una variable aleatoria es cualquier regla que relaciona un número con cada resultado en S. en el lenguaje matemático, una variable aleatoria es una cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo recorrido es el conjunto de numero reales.” (pág. 98)
(Murray R. Spiegel, 199) señala que: “Supóngase que a cada punto de un espacio muestral asignamos un número. Así definimos una función en el espacio muestral. Comúnmente se denota por una letra mayúscula como X ó Y. En general una variable aleatoria tiene algún significado físico, geométrico u otro.” (pág. 38)

EJEMPLOS DEL USO O APLICACIÓN DE VARIABLE ALEATORIA

Se sacan dos bolas de manera sucesiva sin reemplazo de una que contiene cuatro bolas rojas y tres negras. Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y, donde Y es el número de bolas rojas, son

2. Cuando un estudiante intenta conectarse a un sistema de computadoras de tiempo compartido, uno de dos puertos está ocupado (F), en cuyo caso el estudiante no logra tener acceso, o bien hay por lo menos un puerto libre (S), en cuyo caso el estudiante logra conectarse al sistema con S= {S, F}, defina una variable aleatoria x mediante X(S)=1 X (F)=0 La variable aleatoria X indica si (1) el estudiante se puede conectar o no ({}).

3. Supóngase que se lanza una moneda dos veces de tal forma que el espacio muestral es S= {CC, CS, SC, SS}. Representase por X el número de caras que puede resultar. Con cada punto muestral podemos asociar un número para X.

Debe observarse que también podría definirse otras muchas variables aleatorias en este espacio muestral, por ejemplo el cuadro del número de caras, el número de caras menos en número de sellos.

BIBLIOGRAFÍA

(Jay L. Devore, 2005) Probabilidad y Estadística Para Ingeniería y Ciencias. Séptima Edición, México, D.F: Editorial Cengage Learning.

(Walpole, Ronald E., 1999) probabilidad y estadística para ingenieros. Sexta Edición, México: Editorial Pearson.

(Murray R. Spiegel, 1991) Probabilidad y Estadística. Primera Edición, México: Editorial Mc Graw-Hill.

INGENIERÍA INFORMÁTICA

3er. SEMESTRE

G-103